Formalisme du modèle allostérique MWC (1965)

3ème partie

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a. La fonction de saturation pour n = 4 sites de fixation

b. Généralisation de l'expression de la fonction de saturation : le polynôme de fixation, ZS

a. La fonction de saturation pour n = 4 sites de fixation
=
Nombre total de sites occupés par le ligand (le substrat)
 ----------------------------------------------------------------------------------------
Nombre total de sites
soit : =
([RS] +  2 [RS2] +  3 [RS3] +  4 [RS4])    +   ([TS] +  2 [TS2] +  3 [TS3] + 4 [TS4])
 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4 ([R0] + [RS] + [RS2] + [RS3] + [RS4])    +     4 ([T0] + [TS] + [TS2] + [TS3] + [TS4])

 

Au numérateur :

[RS] +  2 [RS2] +  3 [RS3] +  4 [RS4]

= ([R0] . 4 α) + (2 [R0] . 6 α2) + (3 [R0] . 4 α3) + (4 [R0] . α4)

= (4 [R0] . α)    .   (1 + 3 a + 3 a2 + α3)

= (4 [R0] . α)    .   (1 + α)3

 

Au numérateur :

[TS] +  2 [TS2] +  3 [TS3] + 4 [TS4]

= ([R0] . 4 Lcα) + (2 [R0] . 6 Lc2α2) + (3 [R0] . 4 Lc3α3) + (4 [R0] . Lc4α4)

= (4 [R0] . Lcα)    .   (1 + 3 cα + 3 c2α2 + c3α3)

= (4 [R0] . Lcα)    .   (1 + cα)3

 

Au dénominateur :

4 ([R0] + [RS] + [RS2] + [RS3] + [RS4])    +     4 ([T0] + [TS] + [TS2] + [TS3] + [TS4])

=   4    .    ([R0]  .  [(1 + α)4    +   L . (1 + cα)4])
Equivalent à :                        n    .    ([E]totale)         (Relation 1)

 

soit : =
[(4 [R0] . α) . (1 + α)3]     +     [(4 [R0] . Lcα) . (1 + cα)3]
 --------------------------------------------------------------------------------------
 4    .    ([R0]  .  [(1 + α)4    +   L . (1 + cα)4])
soit : =
[α . (1 + α)3]     +     [Lcα . (1 + cα)3]
 -----------------------------------------------------------------
(1 + α)4    +   L . (1 + cα)4
 pour n = 4 sites de fixation

 

b. Généralisation de l'expression de la fonction de saturation : le polynôme de fixation, ZS

A partir de la (Relation 1), la concentration totale ([E]totale) d'une enzyme contenant n sites de fixation s'exprime de la manière suivante :
[E]totale      =      [R0]  .  [(1 + α)n  +  L . (1 + cα)n]      =       [R0]  .  ZS
On appelle polynôme de fixation, ZS, le terme :                                       ZS  =  (1 + α)n  +  L . (1 + cα)n
Dans la 2ème partie, on avait défini la concentration réduite de substrat, α :
           [S]
α =    -------------
           KμR
==>        ZS  =
    [S]
(1 + ------------)n
    KμR

                                 [S]
+     L . (1 + c . ------------)n
                                KμR

La fonction de saturation s'exprime da la manière suivante :
=
[S]
---------------
n .   ZS
                 Δ ZS
.            --------------
                Δ [S]
            Δ ZS
avec :        -------------  =
            Δ [S]
    1
n . (----------)
      KμR

                    [S]
.     [(1 + ------------)n-1
                    KμR

                                    [S]
+     nLc . (1 + c . ------------)n-1]
                                  KμR
            Δ ZS
==>         -------------  =
            Δ [S]
    1
n . (----------)
      KμR

                   [S]
.     [(1 + ------------)n-1
                   KμR

                                 [S]
+     Lc . (1 + c . ------------)n-1]
                                KμR
            Δ ZS
==>         -------------  =
            Δ [S]
    1
n . (----------)
      KμR

.     [(1 + α)n-1

 +     Lc . (1 + cα)n-1]

 

 

On peut ré-écrire la fonction de saturation :

 

 

=

                   1
[S] . n . ----------  .  [(1 + α)n-1  +   Lc . (1 + cα)n-1]
                KμR
------------------------------------------------------------------------
                   n . [(1 + α)n +   L . (1 + cα)n]

                           α  .  (1 + α)n-1    +     Lcα . (1 + cα)n-1
soit :     =    ---------------------------------------------------------------------
                           (1 + α)n    +     L . (1 + cα)n