Système à 2 substrats : fixation au hasard (hypothèse du quasi - équilibre)

démonstration des équations

 
 

Le mécanisme

réactionnel s'écrit:

         E    +    A
         +
         B
KA
<====>
           EA
            +
            B
KB . aKB
        EB    +    A
aKA
<====>
          EAB
kcat
-------->
E + P + Q

 
   
Selon l'hypothèse du quasi-équilibre l'équation
de la vitesse de formation des produits est :		  vi = kcat  .  [EAB] (rel. 1)

 
La loi de conservationdes espèces moléculaires appliquée :
 
  • à l'enzyme ; 
  • au substrat A ; 
  • au substrat B.
 [E0]   =   [E] + [EA] + [EB] + [EAB] (rel. 2)
[A0]  =  [A] + [EA] + [EAB]*
Si : [A0] >> [E0] => [A0] >> [EA] et [A0] >> [EAB]
donc : [A0]  =  [A]
[B0]  =  [B] + [EB] + [EAB]*
Si : [B0] >> [E0] => [B0] >> [EB] et [B0] >> [EAB]
donc : [B0]  =  [B]
*En condition de vitesse initiale [P] et [Q] sont négligeables.

 
Il faut exprimer les concentrations de EA et de EB en fonction de celle du complexe productif EAB :
Pour l'équilibre :
                   aKB
EA + B <======> EAB		                      [EA] [B0]                                                        aKB
aKB   =  ( ----------------- )         =>        [EA]   = [EAB] . ( ---------- ) (rel. 3a)
                       [EAB]                                                              [B0]
Pour l'équilibre :
                   aKA
EB + A <======> EAB		                      [EB] [A0]                                                        aKA
aKA   =  ( ----------------- )         =>        [EB]  = [EAB] . ( ---------- ) (rel. 3b)
                       [EAB]                                                             [A0]
Pour exprimer la concentration de E en fonction de celle du complexe productif EAB, il y a deux possibilités :
  • Soit à partir de l'équilibre : 
                 KA
E + A <=====> EA		                   [E] [A0]                                                       KA
KA   =  ( --------------- )         =>        [E]   =   [EA] . ( --------- )
                     [EA]                                                         [A0]
Compte - tenu de la relation 3a :                                   aKB        KA
[E]   =   [EAB] . ( ----------  .  ---------- )  (rel. 4)
                                  [B0]           [A0]
  • Soit à partir de l'équilibre : 
                 KB
E + B <=====> EB		                   [E] [B0]                                                       KB
KB   =  ( --------------- )         =>        [E]   =   [EB] . ( --------- )
                     [EB]                                                         [B0]
Compte - tenu de la relation 3b :                                   aKA        KB
[E]   =   [EAB] . ( -----------  .  ---------- )  (rel. 4)
                                  [A0]          [B0]
Bien évidemment, on obtient la même expression pour [E], que l'on considère l'un ou l'autre de ces deux équilibres de dissociation.

 

En tenant compte des relations :

3a, 3b et 4,

la relation 2 devient  :

                                        a KA KB                  a KB                     a KA
 [E0]  =   [EAB] .   [( ---------------- )   +   ( ---------- )   +   ( ----------- )  +  1]
                                       [A0][B0]                  [B0]                   [A0]
soit :                                                                     [E0]
[EAB]    =    ----------------------------------------------------------------------------
                                  a KA KB                  a KB                    a KA
                          [( ----------------- )   +   ( ---------- )   +   ( ---------- )  +  1]
                                  [A0][B0]                [B0]                   [A0]

 
En multipliant les deux membres de l'égalité par  kcat ;

Et puisque :   Vmax  =   kcat   .   [E0]

                                                               Vmax
vi    =      ----------------------------------------------------------------------------
                            a KA KB                 a KB                    a KA
                    [( ----------------- )   +   ( ---------- )   +   ( ---------- )  +  1]
                           [A0][B0]                  [B0]                  [A0]
En multipliant le numérateur et le dénominateur

du membre de droite par  : [A0][B0]

                                                                       [A0][B0]
vi    =      Vmax   .   -----------------------------------------------------------------------
                                     [a KA KB    +    a KB [A0]    +  a KA [B0]    +   1]
En divisant par [A0], on obtient une expression

de la vitesse initiale en fonction de la concentration

du substrat A pour une concentration fixe de B.

                                                                                 [A0]
vi      =      Vmax    .    ----------------------------------------------------------------------
                                                              KB                                        a KB
                                       [a KA . ( 1 + --------- )]     +   [[A0] . ( 1 + ---------- )
                                                              [B0]                                       [B0]
En divisant par [B0], on obtient une expression

de la vitesse initiale en fonction de la concentration

du substrat B pour une concentration fixe de A.

                                                                                 [B0]
vi      =      Vmax    .    ----------------------------------------------------------------------
                                                             KA                                       a KA
                                       [a KB . ( 1 + --------- )]     +   [[B0] . ( 1 + ---------- )
                                                             [A0]                                        [A0]

 
1. L'équation de chaque courbe de saturation
en fonction de la concentration du substrat A
pour une concentration fixe de B est :		                                                       [A0]
 vi      =      VMapp      .    ---------------------------
                                            KAapp    +   [A0] 
L'équation de chaque courbe de saturation
en fonction de la concentration du substrat B
pour une concentration fixe de A est :		                                                       [B0]
 vi      =      VMapp      .    ---------------------------
                                            KBapp   +   [B0] 

2. Pour chaque concentration de A et de B,

la vitesse maximale apparente vaut :

                                       VM                                VM
VMapp      =      ----------------------    =     ----------------------
                                    a KA                            a KB
                           ( 1 + ---------- )              ( 1 + ---------- )
                                      [A0]                             [B0]
Et à concentration SATURANTE en A et B : VMapp      ---->      VM

3. Pour chaque concentration de B,

la constante de Michaelis apparente pour le substrat A vaut :

                                                      KB
                                           ( 1 + --------- )
                                                     [B0]
KAapp      =      a KA  .  ----------------------- 
                                                    a KB
                                          ( 1 + ---------- )
                                                     [B0]
Et à concentration SATURANTE en A et B : KAapp      --->      a KA     =      constante de Michaelis pour le substrat A

4. Pour chaque concentration de A,

la constante de Michaelis apparente pour le substrat B vaut :

                                                      KA
                                           ( 1 + --------- )
                                                     [A0]
KBapp      =      a KB  .  ----------------------- 
                                                    a KA
                                          ( 1 + ---------- )
                                                     [A0]

Et à concentration SATURANTE en A et B :

KBapp      --->      a KB     =      constante de Michaelis pour le substrat B